2023臺北科學日

活動內容單

單位：臺北市立志清國民小學                               帶隊教師：陶 玉

 

• 活動標題：智破四關〜「幣」勝祕訣

 

• 活動類型：  □ 實驗     □ 觀察    █ 實作

 

• 適合年齡：  █ 全年齡   □       歲以上

 

• 活動內容簡述

數學遊戲，共有4關。前3關為闖關者與關主對戰拿硬幣，拿到最後1枚硬幣者為勝。第4關為闖關者與電腦對戰拿石頭，拿到最後1個石頭者為輸。

初級戰：有30枚硬幣，闖關者與關主輪流拿硬幣，每人每次可拿1至3枚硬幣，拿到最後一枚硬幣者為「勝」。

中級戰：有30枚硬幣，分成2堆，闖關者與關主輪流拿硬幣，每人每次可拿硬幣的數量不限(但至少要拿1枚)，而且每次只能在同一堆硬幣中拿取，拿到最後一枚硬幣者為「勝」。

高級戰：有30枚硬幣，分成3堆（5,12,13），闖關者與關主輪流拿硬幣，每人每次可拿硬幣數量不限(但至少要拿1枚)，而且每次只能在同一堆硬幣中拿取，拿到最後一枚硬幣者為「勝」。

終極戰：有5堆石頭，每堆分別有1、3、5、7個石頭，闖關者與電腦輪流拿石頭，每次可拿石頭的數量不限(但至少要拿1個)，而且每次只能在同一堆石頭中拿取，拿到最後一個石頭者為「輸」。

 

• 運用原理和操作步驟

初級戰：30÷(1＋3)＝7...2，所以闖關者要先拿並拿2個硬幣，接下來視關主拿幾個硬幣，只要與關主拿的硬幣加起來為4，闖關者即可獲勝。此為「搶30」遊戲。

中級戰：透過簡化問題分析，將30枚硬幣分成二堆，有二堆硬幣數量「相同」和「不同」兩種情況。若二堆硬幣數量相同，闖關者要後拿

，而且要仿照關主的拿法來拿另一堆硬幣，則可獲勝。若二堆硬幣數量不同，闖關者則要先拿，並要製造成二堆硬幣數量相同的局面，接下來再仿照關主的拿法來拿另一堆硬幣，則可獲勝。

高級戰：哈佛大學數學系教授包頓(Bouton)利用二進位表示法解答此類問題，他將每堆硬幣的數量分別以二進位數表示，並使其相加但不進位，若和的各個位數都是偶數，則定義為安全局面(safe)，若和的各個位數中有奇數，則定義為不安全局面(unsafe)。在safe情況下，不管對方如何拿硬幣，都會拿成unsafe局面，闖關者只要在適當的某一堆硬幣中取適當的數量，就能達到另一個safe情況，這樣一直到遊戲結束，最終闖關者會獲勝。反之，在unsafe情況下，對方必定有辦法在適當的某一堆硬幣中取適當的數量，達到他的safe局面，導致闖關者失敗。換言之，開場的局面是unsafe情況，闖關者要選擇先拿硬幣，並製造出safe局面。反之，開場的局面已是safe情況，闖關者無法再製造出safe局面

，所以要選擇後拿硬幣，並製造出下一個safe局面。本題硬幣分成3堆（5,12,13），利用2進位法改寫5、12、13可改寫成101、1100、1101，若不進位，其和為2302，因有出現奇數，所以此為unsafe局面的開場，闖關者要選擇先拿硬幣，並從5枚硬幣這堆中拿走4枚硬幣，形成（1,12,13）的safe局面，接下來不管關主怎麼拿硬幣，都會拿成unsafe局面。此為「拈(Nim)」遊戲。

終極戰：本次提供的電腦遊戲也是「拈(Nim)」遊戲，只是將遊戲規則改為拿到最後一個石頭者為「輸」。本遊戲將石頭分成4堆，分別有1、3、5、7個，以二進位數表示，分別為1、11、101、111，其和且不進位為224（均為偶數），所以開場為safe局面，闖關者要選擇後拿硬幣，並要持續為自己留下safe局面直至遊戲結束前。

 

• 注意事項：

無。

 

• 參考資料

昌爸工作坊-數學遊戲-拈。網址：

http://www.mathland.idv.tw/game/nim.htm

拈及其各種變型遊戲。網址：

https://web.math.sinica.edu.tw/math_media/d32/3202.pdf